原创 曹则贤 返朴
本文节选自曹则贤著《磅礴为一—通才型学者的风范》，该书已由外语教学与研究出版社出版。
《磅礴为一——通才型学者的风范》 图片来源：罗会仟/摄影
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）
The central conception of all modern theory in physics is “the Hamiltonian”
所有近代物理理论的中心构造是哈密顿量。
——Erwin Schrödinger
摘要 哈密顿， 爱尔兰数学家、物理学家、神童、语言天才，痴迷诗与哲学。哈密顿3岁随叔叔学习， 13岁就掌握了欧洲的所有语言，15岁即研读拉格朗日和拉普拉斯的力学，17岁起研究开始有成果，21岁大学未毕业时成为皇家天文学家、教授，30岁时获爵士封号。哈密顿发展了新的光学理论和新的动力学理论，把力学和光学看成统一的学问；他把复数看成代数偶，发明了四元数，带来了矢量分析。许多用哈密顿命名的内容成了近代物理的基础，包括哈密顿原理、哈密顿量、哈密顿-雅可比方程，等等。
关键词 射线系统，锥形折射，最小作用量原理，哈密顿动力学，哈密顿量，哈密顿-雅可比方程，代数，二元数，四元数，矢量分析
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引子
在物理学文献中，出现频次最高的名字是哪个？牛顿？爱因斯坦？我个人觉得是哈密顿。牛顿把他的姓氏Newton活成了力的单位，以及形容词形式的Newtonian，出现在Newtonian mechanics（牛顿力学），Newtonian gravitation（牛顿引力），Newtonian absolute space and time（牛顿的绝对事件与绝对空间）等词汇中。爱因斯坦的姓氏Einstein依然只是个姓氏，人们谈论相对论时会提及Einstein’s theory of relativity（爱因斯坦相对论）， Einstein tensor（爱因斯坦张量）。在他们两位中间时代的哈密顿，不仅把姓氏Hamilton活成了Hamiltonian，且Hamiltonian 既是形容词出现于Hamiltonian optics（哈密顿光学）等概念中, 还是个专有名词。Hamiltonian作为名词，汉译哈密顿量。哈密顿量，不严格地说它对应系统的能量，是一个表达式、一个算符、一个量，是那种在物理学各个分支中，也许热力学是个例外，总是随时会出现的物理学基础概念。有沉迷于理论物理因此也就对理论物理不甚了了的人甚至宣称世界就是个哈密顿量。据说，这个世界上任何时刻都有人在输入Hamilton(ian)这个词。
1865年，美洲大陆上诞生的新贵国家，美国，也设立了科学院。设立科学院的头等大事，是从别的地方找真有学问的人作为外籍成员来抬高自己。美国科学院为自己圈定了15位最杰出的科学家作为它的外籍成员, 位列第一的就是哈密顿。哈密顿是他所处时代最伟大的科学家，这一点毫无疑问。哈密顿被誉为最富有想象力的数学家（the most imaginary mathematician）。如果计及历史的因素，笔者还真未必肯把牛顿的成就置于哈密顿之上。当然了，时间是单向的，历史性带来的份量无法扣除，牛顿在自然科学方面的崇高地位是无法撼动的。对牛顿的地位心有不甘的，笔者读到的只有拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813），其曾言道“牛顿是最伟大的天才，也是最幸运的，毕竟只有一个世界体系需要建立！”——爱因斯坦的文字里没有这样的想法的流露。哈密顿也有资格发出拉格朗日式的感叹，但是我没见到过。哈密顿对数学和物理的贡献比牛顿多，在重要性上也未必稍有逊色。近世代数是可以和微积分相媲美的。
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哈密顿小传
威廉·罗文·哈密顿（Sir William Rowan Hamilton，1805-1865），爱尔兰数学家、物理学家、天文学家（图1）。哈密顿既是个纯数学家，也研究物理学应用的数学，所谓的mathematics for physics，对光学、力学和代数都做出了奠基性贡献。在哈密顿看来，光学是纯粹的科学, 代数是纯粹时间的科学。哈密顿将牛顿力学改造成了哈密顿力学，为了得到电磁学的代数他发展出了四元数，结果四元数构成了三维空间中转动的恰当数学表述。四元数作为算符（operator）在六十年后才等来它的operand（作用对象），即所谓的spinor（旋量），旋量把量子力学提升到了一般研究量子力学的学者都不碰的层面。量子力学，请记住可称它为波动力学，会在哈密顿那里找到概念的源头，那几乎就是关于构造哈密顿量及求其本征函数的事业。
哈密顿1805年出生时，其父与母分别为27岁和25岁，正当壮年。哈密顿的父亲是个小律师，但其叔叔詹姆斯（James Hamilton）毕业于都柏林三一学院，是一位古典学者，在家乡的塔尔博特城堡（Talbots Castle）开办一所学校。哈密顿3岁时开始跟叔叔一起生活，这让他很早就接触了学校，其不凡天分也就早为人所识。詹姆斯叔叔注意到小威廉具有杰出的语言天分，在他的悉心教导下，小威廉5岁就相当程度地掌握了拉丁语、希腊语和希伯来语，到13岁时已经学会了他能接触到的所有语言，这包括所有的古典和现代欧洲语言，此外还有叙利亚语、波斯语、阿拉伯语、梵语，印度斯坦语（Hindustani，书面语为Hindi-Urdu, 印地-乌尔都语），甚至马拉地语（一种印度北部印度-雅利安人说的语言）和马来语。哈密顿一直保有超常的语言能力，即便到了晚年，他也依然能阅读波斯或者阿拉伯语的东西自娱自乐。
图1. 哈密顿爵士
关于哈密顿的语言学习经历，有必要多罗嗦几句。小威廉3岁时来到叔叔家，就开始读英文圣经。詹姆斯叔叔认识到自己有个卓越的侄子，他教孩子拼写的方法是梳理字典，单音节、双音节、多音节，那些常人一辈子用不到的字也一样要学。然后，小威廉依然还是3岁哈[1]，是古典语言的学习，先是希伯来语，接下来学拉丁语与希腊语，小威廉到8岁时能随时逮着大人飙大段的拉丁语演说词。具体到底会到什么程度，笔者无从知晓，无从判断，也无力判断。在小威廉13岁的时候，他爹吹牛说威廉除了所有的欧洲语言以外还会东方的那些语言，包括孟加拉语、叙利亚语之类的。他爹说，“他也要学中文，但是都柏林弄不到中文书啊！” 真难为天才的亲爹了。小威廉跟他亲爹一样是善于显摆的，但是詹姆斯叔叔很明智，他不让小威廉去显摆，他知道太多的赞许是鲜有聪明的孩子长大了还继续聪明的原因。
1813年，8岁的小威廉接到了了人生的第一单重任。那一年美国计算神童科尔本（Zerah Colburn）到都柏林来显摆，据说此人能20秒内算出4294967297的两个素数因子[2]，小威廉奉命出战，两人比赛心算。年长一岁的美国来客明显技高一筹，赢得了这场比赛。好强的小威廉觉得这是因为自己在语言学习上花费了太多的时间，他愤然决定在语言学习方面少花点儿时间，把腾出来的时间多花一点儿在数学上。一说这场比赛是在1818年，比较可信。反正这次相遇对哈密顿的影响很大，此后他脑子里总喜欢计算。计算的习惯保持了一生。
哈密顿在13岁前是如何学数学的，记载很少，但是那时候他已经学习法国数学家克莱洛的《代数》一书了，并且拟了个题目A compendious treatise of algebra（代数纲要）来总结自己学习的心得。在学完了欧几里得几何以后，1821年詹姆斯叔叔送给他一本解析几何，这本书让哈密顿把花在古典学上的注意力，或者说热爱，转移到了科学上。看看，最能展现早熟天才的领域：数学、音乐和语言，哈密顿三样占了两样。据说哈密顿读数学如读小说（He could read mathematical treatises as one reads a novel），能够在脑海中同所读书籍的作者用同样的词汇对话（He could discourse in his mind on equal terms with the authors he read）。在数学方面，哈密顿优秀得令人发指，他善于深度抽象和繁琐计算, 被誉为分析钻头（analytic borer）。
文科方面，除了古典学，威廉觉得自己在诗歌创作方面也非常优秀，他曾想过放弃科学去专心写诗。他一生中交往过大诗人，给恋人写过诗。在哈密顿的一生中，确实可见科学与诗是同一个创造精神的两面。在1834年的on the general method of dynamics（论动力学的一般方法）一文中，哈密顿赞叹拉格朗日的天体力学就是科学之诗。
哈密顿15岁起开始学习牛顿力学和拉普拉斯的天体力学，他甚至指出了拉普拉斯天体力学一书中的一个错误[3]，引起了爱尔兰皇家天文台的天文学家布林克雷（John Brinkley，1766-1835）的注意。1821年，16岁的哈密顿开始学微积分，用的是法国人的Leçons de calcul differential（微分教程）。1822年，哈密顿就写了preliminary remarks on division（关于除法的初步论述），这为他发明四元数这一关键可除代数奠定了基础（多少连高等数学都一天未学的人误以为自己会除法啊！）。18岁那年，哈密顿进了都柏林的三一学院，学习数学和古典学，成绩是爆棚分数（off-the-chart grades）。21岁本科还没毕业时，哈密顿已经被任命为爱尔兰皇家天文学家，成了安德鲁天文学讲席教授。哈密顿把家搬进了位于Dunsink的天文台，在那里度过了一生。哈密顿在他那个时代被当作一个著名的天文学家，今天他在人们心目中是个物理学家、数学家，或者是数学物理学家。在这一年，布林克雷博士，哈密顿就是接替他的苏格兰皇家天文学家的位置的，指着哈密顿说：“This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his age.（这个年轻人，不是说他会是，而是就是，他所处时代首屈一指的数学家。)”就这，人家还写道：“The time I have given to science has been very small indeed; for I fear becoming again infatuated with it…（我花在科学上的时间其实很少，我怕我又为它着迷……)”
哈密顿是个有哲学气质的人，热爱抽象与理想, 会到康德的哲学里去寻找代数的基础。哈密顿宣称他的科学灵感来自形而上的理想主义。Hamilton constantly tried to elevate himself to an ultramundane world（哈密顿一直努力要将自己提升到世俗之外的境界）。哈密顿信奉形而上的现实主义, 他是第一拨阅读康德并将之当真的大不列颠科学家，他对康德的研究让他相信超复数必然存在，也一定能构造出来, 因为康德认为数是从对时间的纯粹直觉构造而来的。后来，他的成就证明他是对的。有人说，C’est une mine d’érudition（此人是个博学的矿藏）。
1835年，30岁的哈密顿获得骑士封号，成了Sir William Rowan Hamilton。
哈密顿爵士的传世之作包括：
1. Elements of Quaternions（四元数基础），Longmans (1865)；
2. Lectures on Quaternions（四元数教程），Hodges and Smith (1853)；
3. On the Argument of Abel（论阿贝尔的论证）；
4. On Conjugate functions, or Algebraic couples（论共轭函数或者代数偶）；
5. On Equations of the Fifth Degree (论一元五次方程)。
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哈密顿的数理成就
哈密顿的成就，不好严格地区分是数学还是物理。哈密顿对物理学的贡献体现在光学和力学领域。虽然他和法拉第、麦克斯韦是同时代人，但因为没有研究实验，故哈密顿对电磁学不太精通。哈密顿对光学和力学的贡献本质上还是数学的，与变分原理有关，后来哈密顿动力学导向新的几何学以及量子力学，更是其数学威力的展现。哈密顿后半生的精力集中在发明和阐述四元数上。
3a) 光学
哈密顿对光学的兴趣发生在光的波动与颗粒说争论的顶峰时期。1824年-1827年哈密顿读大学期间，关于光的本性的论战在法国以波动说的胜利而终结，而在英国这个争论则刚开始。哈密顿以天文学家的身份开启职业之旅，对光感兴趣也是理所当然。1822年，17岁的哈密顿的出手所做的第一项工作是几何，比如吻圆、代数曲线与面间的接触、外展与包络等，这自然就要研究线簇，进一步地就和光学的焦散线联系上了。哈密顿写过很多光学论文，但是日期不明，且是凌乱的手稿。1823年，哈密顿研究散焦线，1824年写了on caustics 一文，紧接着向爱尔兰科学院提交了论文the theory of systems of rays（射线系统理论），首次报告应该是在1827年。在这篇文章里，哈密顿发展了新方法，这个方法后来被用到了动力学的研究。1827年，哈密顿发明了新的光学理论，可以用一个一般性的方法研究光学系统。该理论的一个关键概念是特征函数，一个光学系统可由一个特征函数描述。哈密顿一遍又一遍地重写他的射线系统理论，不停地加入新的思考，这个过程一直持续到了1833年。射线系统理论是几何光学的杰作，它本质上是数学，确切地说是几何理论，无法兼顾光的波动特性。
1832年，哈密顿预言了双轴晶体的光锥形折射现象（conical refraction），这个预言可与历史上勒维耶 和亚当斯凭借计算预言海王星的存在相媲美。双折射晶体是1818年布鲁斯特发现的。哈密顿预言，一束准直的光进入双折射晶体，当光沿着一个光轴传播时，其折射的结果在晶体内是个光锥，出了晶体以后是一个空心的光柱，这是内锥形折射。哈密顿也设想到了可能存在外锥形折射（图2）。锥形折射现象迅速被实验证实，这让哈密顿名声大噪，并为他1835年赢得了皇家科学院的奖章。
图2. 双折射晶体里的锥形折射现象。左图为内锥形折射，右图为外锥形折射。
3b).力学
力学才是物理学的基石。哈密顿从拉格朗日和拉普拉斯而非牛顿那里开始学习力学。在哈密顿那里，光学和力学是一回事儿。他发现一般力学系统的运动可以用描述光在非均匀介质中传播同样的规律来描述（Hamilton discovered that the motion of a general mechanical system was governed by exactly the same laws as a ray of light propagated in an inhomogeneous medium）。1826年，年仅21岁的哈密顿认识到关于射线与轨迹之间的光学-力学完全类比，射线光学不仅能用于光学，还能用于力学。1834年，哈密顿把他的研究方法拓展入了力学，创立了描述粒子体系运动的一般方法，更一般，更抽象。哈密顿此项研究的目的是美学的而非实用的，在他那里统一力学和光学不涉及任何新的概念，只是形式上的统一。
哈密顿1834、1835年的两篇同名论文On a General Method in Dynamics（论动力学的一般方法），主线是哈密顿原理，其实就是对最小作用量原理的发展，数学方法上则是变分法。在哈密顿那里，作用量是拉格朗日量的时间积分，强调一下，拉格朗日量和拉格朗日方程都是哈密顿引入的。哈密顿的分析揭示了更深刻的数学结构，尤其是动量和位置之间的对偶关系。对变分原理、哈密顿动力学的详细介绍超出作者的能力和本书的范围，读者请参阅相关的专业著作。
19世纪末，赫兹（Heinrich Hertz，1857-1894）批评了哈密顿的理论，指出其与光或物质的构成无关。哈密顿的理论可以用于力学与光学，但未必统一了它们。哈密顿的方法是数学方法，但不是物理理论。赫兹的论断有历史的局限性。哈密顿的特征函数概念提出60年后, 布朗斯（Ernst Heinrich Bruns，1848-1919）从哈密顿的力学特征函数往回得到了光学的特征函数，不过给弄成了几何光学的光程函数方法（eikonal method of geometrical optics）。
虽然拉格朗日和哈密顿力学是为了分立系统构建的，但是对于连续体系的研究也适用，电磁学、量子力学、量子场论都采用哈密顿力学的表述。到了1920年代，索末菲（Arnold Sommerfeld, 1868-1951）在他的Atomic structure and spectral lines（原子结构与谱线）一书中更是高度赞扬了哈密顿的理论。哈密顿的动力学理论不仅适用于经典力学，也可用于量子力学，一点也没有过时的迹象。哈密顿的理论是量子时代的基础物理理论。索末菲等人1916年的文章将量子化条件同力学的偏微分方程联系起来（link up the quantum conditions with the partial differential equations of mechanics）。至于波动力学的基本方程，即薛定谔方程，那就是按照熵公式S=klogW对哈密顿-雅可比方程的改造（参见拙著《量子力学-少年版》）。薛定谔云: The hamiltonian principle has become the cornerstone of modern physics … his famous analogy between mechanics and optics virtually anticipated wave-mechanics（哈密顿原理是近代物理的基石……他关于力学与光学的著名类比实际上预示了波动力学的存在），诚非虚言。今日的物理学习者，对待哈密顿的学问，还是应该系统深入学习才是。
力学一门，始于亚里士多德，由伽利略奠基为一门现代科学，牛顿赋予了力学以数学体系，自此有了成体系的力学，固有牛顿力学之说。牛顿力学，经拉格朗日力学而至哈密顿力学，由欧拉-拉格朗日方程、哈密顿-雅可比方程而到达高峰。再往后，经马赫的批判，赫兹的重现表述，或者还有庞加莱、阿诺德等人的发展，力学都不再有新系统的出现，其后的理论物理皆以哈密顿力学为基础。拉格朗日力学和哈密顿力学也是进入微分几何、场论、量子力学等领域的门户。学力学的人一定要弄清楚两个问题：1)为什么要从牛顿力学发展到拉格朗日力学？2)为什么要从牛顿力学和拉格朗日力学发展到哈密顿力学？哈密顿力学的关键概念有那么几个，包括不变量方法（守恒律），正则变换，哈密顿-雅可比方程，作用量-角不变量，辛几何，等等。
经典力学的基本原理是最小作用原理，即粒子的实际路径是使得action，作用（量），
取极值的路径。量
称为拉格朗日量。从拉格朗日量出发，做勒让德变换，可得到哈密顿量
，其中
。笔者在此提醒各位好好研究研究勒让德变换。它是光学中研究焦散线的关键。这里的拉格朗日量到哈密顿量的变换，热力学中各种热力学势之间的变换，都是勒让德变换。这样做的思想基础是，变换了的公式体系在数学上要保证描述同样的物理。其中深意，值得琢磨。
由拉格朗日量和哈密顿-雅可比方程，可以导出哈密顿运动方程
；
；
。可见，哈密顿方程是2n-个一阶微分方程，而欧拉-拉格朗日方程是n-个二阶微分方程。尽管哈密顿方程未必就好解，但它提供了其它的好处。比如，坐标和动量是差不多对称（形式上多个负号，相应的几何是辛几何）的独立变量。如果系统有一个对称性使得某个广义坐标不出现在哈密顿量中，对应的动量就是守恒的，在其它方程中这个广义坐标都可以忽略，这相当于把体系变成了一个有(n-1)个广义坐标的体系。使用拉格朗日表述，虽然相应的动量依然是守恒的，但是所有的广义坐标还都要出现在拉格朗日方程中。拉格朗日表述和哈密顿表述为经典力学理论的深入提供了基础，也是指向量子力学的桥梁。
哈密顿运动方程易于通过变换研究，这是它的一个优点。不显含时间t的哈密顿量，对应能量守恒的体系，哈密顿方程为
；
。关于这个方程引入了正则变换的说法，即H(pi, qi)由变换后得到的H(Pi, Qi)满足同样形式的方程，
；
，因此方程也被称为正则方程。
哈密顿力学走向量子力学是通过哈密顿-雅可比方程导出（拼凑出）量子力学的薛定谔方程的。在哈密顿-雅可比方程中出现的函数S，哈密顿主函数S(q, t; q0, t0)，就是对拉格朗日量关于时间的变上限（同时允许改变相应的路径终点）积分
。对S做关于端点q的变分，故有δS=pδq，得p=∂S/∂q。由定义
，对S做关于端点t的变分，得
，其中用到了端点处的变分
（速度
是微分），故有H=-∂S/∂t，此即哈密顿-雅可比方程。理解此处的内容需要学会固定端点和活动端点的多变量变分，这些都是哈密顿发展出来的学问。
哈密顿-雅可比方程特别对找出力学系统的守恒量有用，这是唯一的粒子运动可以表述为波形式的力学表达。它就来自光学，所以后来就成了波动光学（wave mechanics）的基础，这让薛定谔捡了个便宜，有了波动力学的方程；后来狄拉克认识到了其中的问题，让费曼捡了个便宜，有了量子力学的路径积分表述。在量子力学中，哈密顿量是算符，
，而动量算符的定义是
。写出哈密顿量，或者编造哈密顿量，简直成了做理论物理的代名词了。这一点在量子场论中尤其明显。此是后话，打住。
3c).四元数
哈密顿伟大成就之一在于认识到所谓的复数不过就是有代数结构的二元数，或者叫代数偶（algebraic couple）。复数能表示二维空间里的转动，那么是否存在一个数学对象能自然地表示三维空间里的转动呢？哈密顿想把他的代数偶的概念推广到三重的情形（triplet）[4]。哈密顿发现不可能从微分方程出发构建triplet的数学理论（It is not possible to establish a theory of triplets from partial differential equations）。
为了构造他的triplet，哈密顿整整花了13年时间，期间多次放下又拾起（因为根本没有与二元数意义相仿的triplet），是数学与形而上的本能让他坚信triplet的存在。三在哈密顿的生活与哲学中是个很难逾越的槛儿。他毕业于三一（trinity）学院，而trinity, 即圣父、圣子、圣灵的三位一体，是西方宗教的根本概念。三而一的思想，是根深蒂固的trinity的回响（One though three, an obvious echo of the trinity）。三分叙事（trichonomous logic）是西方文明的传统。柯勒律治是对哈密顿影响很大的诗人。对柯勒律治来说，事分三重（triad）是基本的哲学，他的意志、思维与生活的三重存在同康德的把所有的认知手段都分成三重（triadic arrangement）（见于康德的《判断力批判》）一脉相承。三重存在的思想也有见到胜利的地方。比如，麦克斯韦等人发展起来的颜色的三原色理论。颜色的三原色理论实际上是技术性的，不是科学，不具有数学的triplet所要求的严谨性。最重要的是，我们生活在三维物理空间里，哈密顿要发明的是对应三维空间矢量的那种三重存在（triplet），包括三元数。追求mathematical triplets和metaphysical triads在哈密顿那里是同时的、统一的事情。
哈密顿首先想到的是构造 x+iy+jz 形式的三重数，其中i2=-1，j2=-1。求三元数的平方(x+iy+jz)(x+iy+jz)时会出现ij和ji项，令ij=0或者ij=-ji能使得三元数同自身的乘积还是三元数，以及让三元数模平方同自身的乘积还是三元数的模平方。但是，两个任意三元数的乘积和两个任意三元数模平方的乘积，其结果都是四项，关于后一点可从式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax-by-cz)2+(ay+bx)2+(az+cx)2+(bz-cy)2看出来。两个三元数的乘积可以令ij=0或者ij=-ji变成三项，而两个三元数模平方的乘积是四项平方的和，哪儿有点儿不对劲儿。这个问题让哈密顿苦恼多年。
1843年10月16日在和夫人一起沿着运河去爱尔兰皇家科学院开会的路上，哈密顿感到灵光一现：如果是四元数的话，很可能使得数的乘积和数模平方的乘积分别具有同样的数和数模平方的形式。也就是说他需要研究的是a+ib+jc+kd，为此需要引入第三个虚数k2=-1 。激动万分的哈密顿在Brougham 桥侧刻下了公式i2=j2=k2=ijk=-1。在接下来的路上他的脑子转开了，迅速开始了计算。到了会场他立马告诉朋友他的发现，并获得允许在11月13日下次会议上报告。构造三元数和四元数的过程中，放弃乘法的交换律是关键一步，确实需要勇气和胆识。满足xy≠yx，x(yz)≠(xy)z这样乘法的代数，内容可丰富了。或许是在同爱森斯坦讨论的时候，哈密顿才决定放弃乘法的交换律的。哈密顿寻找三重数动机本来就是为了描述三维转动的，而三维转动的特征就是非交换性。
四元数是q=a+xi+yj+zk这样的数，其中的三个虚数i, j, k满足i2=j2=k2=ijk=-1以及ij=-ji=k, jk=-kj=i, 和 ki=-ik=j。四元数的纯虚数，即r=xi+yj+zk可以描述或者称为是三维空间里的世界矢量，而ij=k反映的就是所谓矢量乘法的右手定则。三维矢量的这种表示以及叉乘的右手定则都是对四元数简化而来的矢量算法的结果，美国科学家吉布斯为此付出了很多努力（现在看来影响非常负面），可惜这些没人告诉我们。笔者本人当年就一直傻傻地以为矢量分析是什么基本的算法——直到很晚很晚的时候我才听说过四元数，而三维矢量是四元数的纯虚部。在构造四元数的当天，哈密顿就得到了我们今天称之为矢量点乘（标量积）和叉乘的东西。四元数被构造，哈密顿揭示了牺牲普通代数（实数）的规则依然能得到有意义的代数（有针对性应用的代数）。这开启了近世代数。
哈密顿觉得四元数的标量项可能表示时间。我们知道后来的物理学就是这样的，不过不是把时空简单地表示成q=ct+xi+yj+zk这样的四元数，而是写成(x, y, z; ict)的样子，将之理解为双四元数（biquaternion）。这是后话。哈密顿曾撰文Algebra as the science of pure time（作为纯粹时间之科学的代数），这个深刻的哲学思考是哈密顿的思想宝藏, 其对物理学发展的影响不可估量。
哈密顿本来就关注的是复数表示转动的能力。四元数也具有表示转动的能力，当四元数作为算子（operator）时，它作用的对象（operand）是旋量，在60年后才被发现。四元数是描述转动的正确打开方式。相关的知识，希望大家有机会学学（参见拙著《云端脚下》）。笔者当年学刚体力学的时候，书里介绍的是转动的欧拉角表示。欧拉角是历史上引入描述刚体转动的没错，但是欧拉角不唯一而且不构成群，所以它不是描述转动的好选择。当年读比如狄拉克或者樱井纯的量子力学，看人家的转动表示时一头雾水，后来才明白人家对四元数熟悉得很。
哈密顿关于四元数的思想，见于他的两本书，1853年的Lectures on the quaternions（四元数讲义）和1866年的Elements of quaternions（四元数原本）。Lectures on quaternions太长、太艰涩，于是哈密顿决定写个简版的，但结果是越写越多。Hamilton could not do justice to his own vision of quaternions，是啊，他本人是很难写出自己心目中的四元数。直到哈密顿辞世以后，哈密顿所写的关于四元数的内容才由其子Edwin Hamilton编辑成了巨著 Elements of quaternions，正文762页，其中引言59页。哈密顿对学问的态度由此可见一斑。这让笔者想起了泡利的传记 No time to be brief。关于哈密顿此人，也许他的传记应该是No way to be brief。浅薄无声是我们这些俗人的宿命；对于哈密顿这样的巨擘，其思想的流淌波澜壮阔。
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多余的话
天才是早早遇到好老师的普通人。哈密顿天赋异禀，但也是因为跟随学问大又懂教育的叔父长大的才有了后来的辉煌成就。如果跟着他那就会吹牛的父亲长大，估计他也就是一个比一般人强一点的聪明人吧。
有成就的人须早有远大的志向。1822年，17岁的哈密顿在致妹妹爱丽莎的信中写道：“多少世代的伟大头脑合力在高处建立起了广大而又美轮美奂的科学殿堂，用不可磨灭的文字在那里刻上了他们的名字；但是这大厦尚未建成，想为其增砖添瓦一点儿也不晚。我还没到达其脚下，但我渴望有一天会攀上顶峰。” 诵读一遍这青春飞扬的句子, 怎不让人豪情万丈: Mighty minds in all ages have combined to rear upon a lofty eminence the vast and beautiful temple of science, and inscribed their names upon it in imperishable characters; but the edifice is not completed: it is not yet too late to add another pillar or another ornament. I have yet scarcely arrived at its foot, but I may aspire one day to reach its summit! 哈密顿要让爱尔兰在科学世界里伟大（To make Ireland great in the scientific world），他做到了。古老的中华民族，也期待一个这样的人。毛润之先生有诗句云：“为有牺牲多壮志，敢叫日月换新天”，中华的学子，当在少年时有攀登科学高峰的志向，也要有人早点指点给他们科学高峰之所在。
什么是不同凡俗？笔者研究科学巨擘的时候，发现他们中的许多人都清楚地认识到了自己的不同凡俗。当哈密顿重拾热情研究代数的时候，他写道：“我有别于我的那些伟大的同时代者，我的同行兄弟们，不在于那些短暂的、偶然的事物，而是在于那些本质的、永恒的事物上，即在于我研究科学的整个精神与眼界上。”
不过，不要以为天才就备受上天眷顾，哈密顿这样的绝世天才也不免遭人冷落。1824年还在上大学的时候，青春正当年的哈密顿向朋友的妹妹Catherine Disney求爱，遭拒，抑郁以至要自杀。1831年，26岁已名满天下的哈密顿向一位诗人Aubrey De Vere的妹妹Ellen de Vere求婚，又遭拒[5]。两年后，28岁的哈密顿才终于娶了Helen Marie Bayly，一位乡下牧师的女儿，算是结婚成家了。中国人讲成家立业，而且是三十而立，在天才哈密顿身上，立业远在成家之前。哈密顿是个大智慧的人。再大智慧的人，一生中也有他独有的魔障。Catherine Disney 和triplet，就是哈密顿心中的两道坎儿，后面那道坎儿他凭着智慧越过了，世间从此有了四元数，而前面那道坎儿他终究没能越过去。1853年，哈密顿捧着他终于写成的Lectures on the quaternions来到了奄奄一息的Catherine Disney的病榻前，老泪纵横。这个他19岁时一见钟情、一生无缘却又始终放不下的女人，以及构造出四元数之前为之花费了13年绝望岁月的triplet，这两道坎儿是哈密顿这个伟大神童一生的主旋律。哈密顿的诗写得不咋地（笔者总觉得英语不是诗的语言），但他确实有诗人的情怀。Hamilton was no Werther, and yet he felt like one inside（哈密顿不是维特，但他是个内心住着个维特的人）。
哈密顿是个创造者，思如泉涌。哈密顿一生中不停地写，在笔记本上，碎纸片上，甚至写在鸡蛋壳上、自己的指甲上。1846年的Brougham 桥的传奇简直是应有之义。哈密顿去世后, 哈密顿的好朋友、数学家格莱乌斯收集了他的手稿。格莱乌斯还向哈密顿的亲朋好友征集他的信件，最后编成了三大册的Life and Letters，共2090页。其后，在1968年和1974年，哈密顿的后人又在老家的阁楼里找到了成筐的哈密顿的信件。
哈密顿是个完美主义者，对学问，自己的、别人的，都特别挑剔。有两件事儿值得提起。其一，四元数具有广泛的数学意义和物理意义，它首先指向一般意义的多元数（polyplets or set of numbers）。格莱乌斯在构造triplet的时代也是实践者。在哈密顿发明四元数两个月后，即1843年12月，格莱乌斯就发明了八元数。格莱乌斯把文章交给哈密顿审稿，就因为哈密顿是个出了名的完美主义者，这审稿时间拖得太长，结果八元数变成了凯莱数，因为1845年3月凯莱在英国的哲学杂志上率先发表了相关结果。哈密顿只好向格莱乌斯道歉。这件事似乎未影响格莱乌斯对哈密顿的崇拜，在哈密顿辞世后依然是他主动整理了哈密顿的学术遗产，这在人类学术史上绝无仅有。其二，1835年，英国人杰拉德（George Birch Jerrard，1804-1863）提交了一篇文章，宣称找到五次方程的一般解表示。哈密顿受命审阅这篇文章，因为他也长期研究一元五次方程解的问题。哈密顿花了一个晚上给出了这篇论文的报告，认为这篇文章包含了很多聪明的数学，但是没有提供一般解。下个月杰拉德干脆宣称找到了任意次方程的解，论文还是交由哈密顿审阅。哈密顿认为杰拉德的方法不能解五次方程，这当然基于他自己对五次方程的研究。在1836年5月31日这一天，哈密顿给杰拉德写了一封124页的长信，详细阐明为什么他给出负面结论。一天手写124页长的审稿意见，这个世界上大概不会出现第二回了。
哈密顿是罕有的诗人科学家，他年纪轻轻就认识到抽象与推广比获得具体的结果重要。他把力与运动的研究变成一个特征函数的研究，方便学问的统一与推广，有利于人们一眼就能看透宇宙的奥秘（comprehending the universe at a single glance）。一个人很难在阅读过哈密顿后不对他由衷地升起崇敬的心情。哈密顿曾写道：“我，一个久在井底泥泞里的挣扎者，确信我已经让淤泥退后，一直在努力辨别多少（我捞起来的）料是来自智识的清泉，多少是来自物质世界的泥泞底色。”愿虔诚的学人终有一日都能见识道什么是智识的清泉。
深度阅读
1. The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton, Cambridge University Press, , J.L. Synge (eds.)，vol. I (1931); A. W. Conway, &A. J. McConnell (eds.), vol.II, (1940); H. Halberstam, & R. E. Ingram(eds.), vol.III (1967); B. K. P. Scaife (ed.), vol. IV (2000).
2. Otto F. Fischer, Universal Mechanics and Hamilton's Quaternions, A Cavalcade (1951).
3. Shubham Dwivedi, Jonathan Herman, Lisa C. Jeffrey, Theo van den Hurk，Hamiltonian Group Actions and Equivariant Cohomology, Springer (2019).
4. Craig G. Fraser, Hamiltonian Dynamical Systems: History, Theory, and Applications, Springer (1995).
5. Jürgen Moser, Integrable Hamiltonian systems and spectral theory，Scuola normale superiore (1981).
6. Heinrich Bruns, Das Eikonal（光程函数）, Leipzig (1895).
注释
[1] 个人观点，任何一门语言的入门，半年时间都差不多了。也就是说，学校给学生开一门语言课，应以半年为限。剩下的，全靠自学与应用。
[2] 这个数是费马数F5。费马猜测形如Fn=22n+1形式的数都是素数。1732年，欧拉指出294967297=6416700417。笔者估计这个美国天才是背熟的结果。
[3] 没找到具体指的什么错误。看来只能通过自己阅读拉普拉斯的《天体力学》来发现了。
[4] 西文triplet可以用于各种场合表示三元素组成的集合，但是汉语翻译总是将之具体化。此处为了减少失真，有时候会用西文表示。
[5] 我们这种又丑又平庸的男普通人，若26岁时还没有恋人，难道不该心平气和吗？
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原标题：《哈密顿：一个随时有人书写的伟大名字 | 贤说八道》